Как работает звуковой трансформатор ?

Это и индуктивность и передача. Запас энергии происходит в пространстве. Для передачи и запасения, в принципе, железа не надо, оно помогает улучшить эти дела.
Дифференцирование не проблема, поскольку со стороны нагрузки все то же самое. Поэтому на нагрузке ты имеешь тот же сигнал, а не дифференциал. Естественно все это в рамках допустимого, точности и потерь.

Функции дифференциирования и интегрирования не привязаны к синусу. Интеграл от производной отличается на константу.

Да я вроде такой проблемы не наблюдаю. Ведь трансформация - это дополнительная фича устройства. А здесь просто индуктивная запитка. Через индуктивность заранее пустили постоянный ток и запасли энергии LI^2. Далее этим пользуемся. А нагрузку можно подключить через другой трансформатор через конденсатор или без трансформатора. Сигнал то мы отдаем в нагрузку, а индуктивность носит вспомагательный характер, она обеспечивает отсутствие потери напряжения питания в верхней полуволне.