Павел! Ваше описание транса говорит о том, что один из выводов вторичной обмотки скорее всего на земле (нуле, корпусе), может один из выводов первичной - тоже. Тогда "фазозависимость" объясняется просто.
Как котлы устроены я не разбирался, не знаю. Но Вы можете проверить моё предположение, если омметром посмотрите сопротивление между тем выводом, на котором неонка не горит, и корпусом агрегата (и на первичке тоже). Скорее всего оно будет менее Ома, если этот вывод на корпусе - то на него конечно надо подавать ноль от розетки.
А этот транс в описании так и называется - "разделительный"? тогда странный он какой-то...ну, конструкторам виднее

.
Вообще Вашу проблему надо решать с мультиметром - померить наличие напряжение на вторичной обмотке при наличии напряжения на первичной. И ещё - поищите в системе предохранитель, при такой стрёмной конструкции он вообще-то должен быть где-то. Он даже может быть не плавким, а электронным (как в электрических водонагревателях), тогда может просто надо "взвести" этот автомат- и всё заработает. Только с фазой осторожнее - чтобы на корпус не попала, может, при ваших верчениях вилки в розетке из-за этого-то предохранитель и сработал?
Удачи!
Ю.П.